Bell 부등식과 비국소성 실험: 양자역학의 완전성을 시험하다

개념 소개

1935년 아인슈타인, 포돌스키, 로젠(EPR)은 양자역학이 불완전하다는 논증을 발표했다. 얽힌 입자 쌍에서 한 쪽을 측정하면 아무리 멀리 떨어진 다른 쪽 상태도 즉시 결정되는 현상은, 사전에 **숨은 변수(hidden variable)**가 결과를 미리 정해 두었기 때문이라고 설명할 수 있다는 논리였다. 1964년 존 벨(John Bell)은 이 직관을 정량적으로 검증 가능한 부등식으로 변환했다. 국소 숨은 변수 이론이 옳다면 반드시 만족해야 할 통계적 한계를 유도한 것이다.

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핵심 원리

CHSH 부등식

실험에서 가장 널리 쓰이는 형태는 클라우저–혼–시모니–홀트(CHSH) 부등식이다. 두 관측자 앨리스와 밥이 각각 두 가지 측정 설정 $a,a^{\prime }$와 $b,b^{\prime }$ 중 하나를 독립적으로 선택하고, 측정 결과는 $\pm 1$이라 하자. 두 측정값의 기댓값으로 정의되는 상관 함수 $E(a,b)$를 이용해 다음 조합을 구성한다.

$$S=|E(a,b)-E(a,b^{\prime })+E(a^{\prime },b)+E(a^{\prime },b^{\prime })|$$

국소 숨은 변수 이론에서는 결과가 공유된 고전 정보에만 의존하므로 항상 다음이 성립한다.

$$S\le 2$$

반면 양자역학은 최적 측정 설정에서 다음을 예측한다.

$$S_{\text{QM}}=2\sqrt{2}\approx 2.828$$

이 상한을 **치렐손 한계(Tsirelson bound)**라 한다. $2\sqrt{2}>2$이므로 두 이론은 실험으로 판별 가능하다.

얽힌 상태에서의 상관 함수

벨 상태 $|{\Phi }^{+}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩+|11⟩)$에서 편광(또는 스핀) 측정 각도 ${\theta }_a,{\theta }_b$에 대한 상관 함수는

$$E({\theta }_a,{\theta }_b)=-\cos (2({\theta }_a-{\theta }_b))$$

로 주어진다. 최적 각도 조합 $({\theta }_a,{\theta }_{a^{\prime }},{\theta }_b,{\theta }_{b^{\prime }})=(0°,45°,22.5°,67.5°)$를 대입하면 $S=2\sqrt{2}$가 정확히 도출된다.

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예시·응용

실험적 검증과 허점 폐쇄

1980년대 알랭 아스페(Alain Aspect) 그룹은 광자 쌍을 이용해 CHSH 값이 2를 유의하게 초과함을 실증했다. 그러나 초기 실험에는 두 가지 **허점(loophole)**이 남아 있었다.

허점	내용	폐쇄 방법
국소성 허점	측정 설정 신호가 광속 이하로 전달될 가능성	광자 비행 중 설정을 무작위 전환
감지 효율 허점	미검출 입자가 통계를 편향시킬 가능성	고효율($>90\%$) 검출기 사용

2015년 세 개의 독립 연구 그룹(네덜란드 델프트, 미국 NIST, 오스트리아 빈)이 두 허점을 동시에 폐쇄한 **허점 없는 벨 실험(loophole-free Bell test)**에 성공했다.

Qiskit 시뮬레이션 예시

from qiskit import QuantumCircuit, transpile
from qiskit_aer import AerSimulator
import numpy as np

def chsh_circuit(theta_a, theta_b, shots=4096):
    qc = QuantumCircuit(2, 2)
    qc.h(0)
    qc.cx(0, 1)                   # 벨 상태 생성
    qc.ry(-2 * theta_a, 0)        # 앨리스 측정 기저 회전
    qc.ry(-2 * theta_b, 1)        # 밥 측정 기저 회전
    qc.measure([0, 1], [0, 1])

    sim = AerSimulator()
    result = sim.run(transpile(qc, sim), shots=shots).result()
    counts = result.get_counts()

    # 상관 함수 계산: 동일 결과 → +1, 다른 결과 → -1
    corr = sum(
        (1 if (int(k[0]) == int(k[1])) else -1) * v
        for k, v in counts.items()
    ) / shots
    return corr

# 최적 각도 설정
settings = [(0, np.pi/8), (0, -np.pi/8),
            (np.pi/4, np.pi/8), (np.pi/4, -np.pi/8)]
E = [chsh_circuit(a, b) for a, b in settings]
S = abs(E[0] - E[1] + E[2] + E[3])
print(f"S = {S:.4f}  (고전 한계: 2, 양자 한계: {2*np.sqrt(2):.4f})")

응용: 장치 독립적 양자 암호

Bell 부등식 위반은 단순한 기초 물리를 넘어 실용적 응용으로 이어진다. **장치 독립적 양자 키 분배(DI-QKD)**는 측정 기기를 신뢰하지 않아도, CHSH 값이 고전 한계를 초과하는 것 자체가 도청자가 없음을 보증하는 원리를 이용한다.

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정리

Bell 부등식 실험은 자연이 국소적 실재론을 따르지 않음을 실험적으로 증명했다. 양자 비국소성은 정보를 초광속으로 전달하지 않으면서도 공간적으로 분리된 측정 사이에 고전적으로 설명 불가능한 상관을 만들어 낸다. 이 현상은 양자 암호, 양자 통신, 장치 독립적 프로토콜 등 양자정보 기술의 핵심 이론적 기반이 된다.