양자 상태 단층 촬영(Quantum State Tomography)

개념 소개

실험 환경에서 양자 계는 결어긋남(decoherence)이나 불완전한 초기화로 인해 혼합 상태(mixed state)에 놓이는 경우가 많다. 이러한 일반적인 양자 상태는 밀도 행렬(density matrix) $\rho$로 기술된다.

$$\rho =\sum _i{p}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|,p_i\ge 0,\sum _i{p}_i=1$$

**양자 상태 단층 촬영(Quantum State Tomography, QST)**은 미지의 $\rho$를 실험적으로 재구성하는 절차다. 동일한 상태를 반복 준비한 뒤 서로 다른 측정 기저에서 통계를 모아 $\rho$를 복원한다. 의학의 CT 스캔이 여러 방향의 X선 투영으로 3차원 구조를 재구성하는 것과 구조적으로 유사하다.

---

핵심 원리

파울리 분해

$n$-큐비트 밀도 행렬은 파울리 연산자 텐서곱의 선형 결합으로 완전히 표현된다.

$$\rho =\frac{1}{2^n}\sum _{P\in \{I,X,Y,Z{\}}^{\otimes n}}\mathrm{tr}(P\rho )P$$

각 계수 $⟨P⟩=\mathrm{tr}(P\rho )$는 실험적으로 직접 측정 가능한 기댓값이다. 단일 큐비트의 경우 블로흐 벡터 성분 $(r_x,r_y,r_z)$만 얻으면 밀도 행렬이 결정된다.

$$\rho =\frac{1}{2}(I+r_{x}X+r_{y}Y+r_{z}Z)$$

측정 프로토콜

단일 큐비트 QST는 $X$, $Y$, $Z$ 기저 측정을 각각 $N$회씩 수행한다. 측정 결과 $\pm 1$의 빈도로부터 기댓값을 추정한다.

$$⟨{\sigma }_k⟩\approx \frac{N_{+}-N_{-}}{N},k\in \{x,y,z\}$$

$n$-큐비트 계의 완전한 QST는 $4^n-1$개의 독립 파울리 기댓값을 필요로 하며, 측정 설정 수는 $3^n$개로 지수적으로 증가한다.

최대 우도 추정

단순 선형 역변환으로 얻은 행렬이 양의 반정치(positive semi-definite) 조건을 위반할 수 있다. **최대 우도 추정(MLE)**은 이를 물리적으로 타당한 공간으로 제한한다.

$${\hat{\rho }}_{\mathrm{MLE}}=\underset{\rho ⪰0,\mathrm{tr}(\rho )=1}{\mathrm{argmax}}\mathcal{L}(\text{data}\mid \rho )$$

$\rho$를 Cholesky 분해 $\rho =T^{†}T/\mathrm{tr}(T^{†}T)$로 매개변수화하면 물리적 조건을 자동으로 만족하는 비구속 최적화 문제로 변환된다.

---

예시·응용

단일 큐비트 QST 시뮬레이션

아래 코드는 $|+⟩=(|0⟩+|1⟩)/\sqrt{2}$ 상태를 가정하고 샷 노이즈 하에서 밀도 행렬을 선형 역변환으로 재구성한다.

import numpy as np

# 목표 상태 |+> 의 밀도 행렬
rho_true = np.array([[0.5, 0.5],
                     [0.5, 0.5]])

N = 1000
np.random.seed(42)

def measure_expectation(true_val, shots):
    p_plus = (1 + true_val) / 2
    n_plus = np.random.binomial(shots, p_plus)
    return (2 * n_plus - shots) / shots

# 파울리 기댓값 측정 (이론값: <X>=1, <Y>=0, <Z>=0)
r_x = measure_expectation(1.0, N)
r_y = measure_expectation(0.0, N)
r_z = measure_expectation(0.0, N)

# 파울리 행렬 정의
I = np.eye(2)
X = np.array([[0, 1], [1, 0]])
Y = np.array([[0, -1j], [1j, 0]])
Z = np.array([[1, 0], [0, -1]])

# 선형 역변환으로 밀도 행렬 재구성
rho_est = (I + r_x*X + r_y*Y + r_z*Z) / 2

# 충실도 계산 (순수 상태의 경우)
fidelity = np.real(np.trace(rho_true @ rho_est))
print(f"블로흐 벡터: ({r_x:.3f}, {r_y:.3f}, {r_z:.3f})")
print(f"추정 충실도: {fidelity:.4f}")

충실도와 품질 평가

재구성된 $\hat{\rho }$와 목표 상태 ${\rho }_{\text{true}}$ 사이의 유사도는 **충실도(fidelity)**로 정량화된다.

$$F(\rho ,\hat{\rho })={\left(\mathrm{tr}\sqrt{\sqrt{\rho }\hat{\rho }\sqrt{\rho }}\right)}^2$$

순수 상태 $\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$에 대해서는 $F=⟨\psi |\hat{\rho }|\psi ⟩$로 단순화된다. QST는 양자 게이트 보정, 얽힘 검증, 양자 오류 수정 코드 성능 평가 등에 핵심적으로 활용된다.

---

정리

QST는 밀도 행렬을 완전히 재구성하는 강력한 도구이지만, $n$-큐비트 계에서 $4^n-1$개의 파울리 기댓값이 필요해 확장성에 근본적 한계가 있다. 이를 완화하기 위해 희소성을 가정하는 압축 센싱 QST, 무작위 측정 기반의 섀도우 단층 촬영(shadow tomography), 저랭크 구조를 이용하는 행렬 곱 상태(MPS) 단층 촬영 등이 활발히 연구되고 있다. 실험적으로는 유한한 샷 수, 상태 준비 충실도, 기저 변환 오류가 재구성 품질을 제한하는 주요 요인이다.