블로흐 구: 큐비트 상태를 한눈에 시각화하기

개념 소개

지구본을 떠올려 보자. 북극은 언제나 "위", 남극은 "아래"를 가리킨다. 블로흐 구는 이 지구본과 거의 같은 모양이지만, 각 위치에 담긴 의미가 다르다. 구면 위의 모든 점 하나하나가 단일 큐비트의 가능한 양자 상태 하나에 대응한다.

• 북극 $(0,0,1)$: $|0⟩$ 상태
• 남극 $(0,0,-1)$: $|1⟩$ 상태
• 적도 위의 점들: $|0⟩$과 $|1⟩$이 동등하게 중첩된 상태들

고전 비트는 0 또는 1, 즉 북극이나 남극에만 존재할 수 있다. 반면 큐비트는 구면 어디에나 있을 수 있어 이 시각화가 의미를 갖는다.

---

핵심 원리

상태 벡터와 두 각도

일반적인 단일 큐비트 순수 상태는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$|\psi ⟩=\cos \frac{\theta }{2}|0⟩+e^{i\varphi }\sin \frac{\theta }{2}|1⟩$$

여기서:

• $\theta \in [0,\pi ]$: 북극으로부터의 극각(polar angle)
• $\varphi \in [0,2\pi )$: 적도 평면에서의 방위각(azimuthal angle)

이 두 각도만으로 구면 위의 점 하나가 완전히 결정되므로, 큐비트의 순수 상태 전체를 블로흐 구 위에서 빠짐없이 표현할 수 있다.

주요 축의 의미

위치	상태	표현
북극	$	0\rangle$
남극	$	1\rangle$
$+x$ 축	$	{+}\rangle$
$-x$ 축	$	{-}\rangle$
$+y$ 축	$	{i}\rangle$

전역 위상과 상대 위상

전체 상태에 곱해지는 전역 위상 $e^{i\alpha }$는 측정 결과에 영향을 주지 않으며, 블로흐 구 위의 점 위치도 바꾸지 않는다. 반면 $e^{i\varphi }$로 나타나는 상대 위상은 방위각 $\varphi$를 결정하므로 물리적으로 구별 가능하다.

게이트 = 회전

단일 큐비트 게이트는 블로흐 구 위의 회전으로 해석된다.

• X 게이트: $x$축 기준 $\pi$ 회전 → $|0⟩\leftrightarrow |1⟩$ (비트 반전)
• Z 게이트: $z$축 기준 $\pi$ 회전 → 위상 반전
• H(아다마르) 게이트: $(x+z)/\sqrt{2}$ 축 기준 $\pi$ 회전 → 북극·남극을 적도로 이동

$$R_n(\alpha )=e^{-i\frac{\alpha }{2}\hat{n}\cdot \vec{\sigma }}$$

임의의 단일 큐비트 유니터리는 블로흐 구 위의 적절한 단위 벡터 $\hat{n}$을 축으로 한 각도 $\alpha$의 회전으로 표현된다.

---

예시·응용

Python으로 블로흐 구 그리기

qutip 라이브러리를 사용하면 몇 줄로 시각화할 수 있다.

from qutip import Bloch, basis
import numpy as np

b = Bloch()

# |0> 상태 (북극)
state_0 = basis(2, 0)
b.add_states(state_0)

# 아다마르 후 |+> 상태 (적도 +x 방향)
from qutip.qip.operations import hadamard_transform
H = hadamard_transform()
state_plus = H * state_0
b.add_states(state_plus)

b.show()

아다마르 게이트의 시각적 이해

$|0⟩$에 H 게이트를 적용하면 북극의 점이 적도의 $+x$ 방향으로 이동한다. 이것이 바로 "중첩 상태를 만든다"는 표현의 기하학적 실체다. 이후 다시 H를 적용하면 $+x$에서 다시 북극으로 돌아온다—H를 두 번 적용하면 항등 연산이 되는 이유다.

---

정리

블로흐 구는 큐비트 상태를 구면 위의 점으로, 게이트를 회전으로 대응시키는 강력한 시각화 도구다. $\theta$와 $\varphi$ 두 각도가 큐비트의 중첩 비율과 상대 위상을 각각 담당하며, 이 표현은 단일 큐비트에 한해 완전하다. 다만 블로흐 구는 단일 큐비트 전용임을 명심해야 한다. 두 큐비트 이상의 얽힘 상태는 이 구면 하나로 표현할 수 없으며, 더 고차원의 수학적 도구가 필요하다.