Bell 부등식과 비국소성: 양자 얽힘의 실험적 검증

개념 소개

1935년 Einstein, Podolsky, Rosen(EPR)은 양자역학이 '불완전'하다고 주장했다. 두 입자가 얽혀 있을 때 한쪽을 측정하면 아무리 멀리 떨어진 상대방의 상태도 즉시 결정된다는 점이 "유령 같은 원격 작용"처럼 보인다는 이유에서였다. 이들은 측정 이전부터 각 입자가 **숨은 변수(hidden variable)**를 이미 보유하고 있을 뿐, 양자역학이 이를 기술하지 못한다고 주장했다.

1964년 John Bell은 이 논쟁을 실험으로 판가름할 수 있는 부등식을 유도했다. 핵심 아이디어는 명확하다: **국소 실재론(local realism)**이 성립한다면, 공간적으로 분리된 두 입자의 측정 결과 사이의 상관관계는 특정 한계를 절대 초과할 수 없다.

핵심 원리

CHSH 부등식

실험에서 가장 널리 쓰이는 형태는 Clauser-Horne-Shimony-Holt(CHSH) 부등식이다. 두 관측자 Alice와 Bob이 각자 두 가지 측정 방향 $a,a^{\prime }$와 $b,b^{\prime }$를 선택할 수 있고, 각 측정값이 $\pm 1$이라 하자. CHSH 매개변수 $S$를 다음과 같이 정의한다.

$$S=⟨AB⟩+⟨A{B}^{\prime }⟩+⟨A^{\prime }B⟩-⟨A^{\prime }{B}^{\prime }⟩$$

국소 숨은 변수 이론에서는 임의의 단일 실현마다 $S=A(B+B^{\prime })+A^{\prime }(B-B^{\prime })$로 인수분해되고, $B,B^{\prime }\in \{+1,-1\}$이면 $B+B^{\prime }$와 $B-B^{\prime }$ 중 하나가 반드시 $0$이 되므로 $|S|=2$이다. 기대값을 취해도 다음이 성립한다.

$$|S|\le 2\text{(CHSH 한계)}$$

반면 스핀-1/2 단일항 상태 $|{\Psi }^{-}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow \downarrow ⟩-|\downarrow \uparrow ⟩)$에서 양자역학적 상관 함수는 다음과 같다.

$$⟨AB⟩=-\cos ({\theta }_a-{\theta }_b)$$

측정 방향을 $a=0°,a^{\prime }=90°,b=45°,b^{\prime }=-45°$로 설정하면

$$|S{|}_{\max }=2\sqrt{2}\approx 2.828$$

이 값을 Tsirelson 한계라 하며, 양자역학이 달성할 수 있는 상관관계의 이론적 최댓값이다. $2<|S|\le 2\sqrt{2}$ 구간이 국소 실재론과 양자역학이 갈라지는 영역이다.

예시·응용

Aspect 실험과 허점 없는 검증

1982년 Alain Aspect 팀은 칼슘 원자에서 방출된 광자 쌍의 편광을 측정하여 $S\approx 2.697$을 관측했고, 이는 CHSH 한계 2를 명확히 위반했다. 그러나 완전한 결론을 내리려면 두 가지 허점(loophole)을 닫아야 했다.

• 탐지 허점: 탐지 효율이 낮으면 '탐지된 사건만 보는 편향'이 생겨 허위로 위반이 관측될 수 있다.
• 국소성 허점: 두 관측자의 측정 선택이 광신호를 통해 서로 영향을 줄 가능성.

2015년 네덜란드 Delft 연구팀은 다이아몬드 NV 센터의 전자 스핀을 이용해 두 허점을 동시에 닫는 실험에 성공했으며, 같은 해 NIST와 빈 대학교 팀도 광자 기반 실험으로 동일한 성과를 달성했다. 이 결과들은 자연이 국소 실재론적으로 기술될 수 없음을 사실상 확정지었다.

양자 정보에서의 의의

Bell 부등식 위반은 철학적 논쟁을 넘어 직접적인 실용 가치를 갖는다.

• 장치 독립 양자 키 분배(DI-QKD): Bell 검정 결과로 도청 여부를 검증하는 프로토콜이 개발되고 있다.
• 얽힘 증인: $|S|>2$이면 두 시스템이 얽혀 있음을 실험적으로 증명할 수 있다.

import numpy as np

def corr(a, b):
    """스핀-1/2 단일항 상태의 상관 함수 E(a,b) = -cos(a-b)"""
    return -np.cos(np.radians(a - b))

def chsh_S(a, ap, b, bp):
    return corr(a, b) + corr(a, bp) + corr(ap, b) - corr(ap, bp)

# 최적 각도: a=0°, a'=90°, b=45°, b'=-45°
S = chsh_S(0, 90, 45, -45)
print(f"S = {S:.4f}")        # ≈ -2.8284
print(f"|S| = {abs(S):.4f}") # ≈ 2.8284 = 2√2

정리

Bell 부등식은 "자연이 국소 실재론적인가?"라는 물음에 실험적으로 답할 방법을 제공한다. 수십 년의 실험은 일관되게 CHSH 한계 2를 위반하며, 2015년 이후 허점 없는 검증이 완료되었다. 양자 얽힘은 숨은 변수로 환원될 수 없는 진정한 비국소적 상관관계이며, 이는 양자 암호와 양자 통신의 안전성 증명에 직접 활용된다.