Bell 부등식과 비국소성: 양자 얽힘의 실험적 검증

개념 소개

1935년 Einstein, Podolsky, Rosen(EPR)은 양자역학의 완전성에 의문을 제기하는 사고 실험을 발표했다. 멀리 떨어진 두 입자가 얽혀 있을 때, 한쪽을 측정하는 순간 다른 쪽의 상태가 즉각 결정되는 현상은 "유령 같은 원거리 작용(spooky action at a distance)"처럼 보인다. EPR은 이를 설명하기 위해 **숨은 변수(hidden variable)**가 존재할 것이라 주장했다—입자들이 측정 이전부터 이미 결과를 내부적으로 결정해 두고 있다는 것이다.

1964년 John Stewart Bell은 이 두 관점을 실험으로 구별할 수 있는 수학적 부등식을 도출했다. 국소 숨은 변수 이론이 옳다면 측정 결과의 상관관계는 특정 한계를 넘을 수 없지만, 양자역학의 예측은 그 한계를 초과한다. 이것이 Bell 부등식의 핵심이다.

---

핵심 원리

국소 실재론의 가정

Bell 부등식은 두 가지 가정을 전제로 한다.

• 국소성(locality): 한 측정 장치의 설정이 멀리 떨어진 다른 장치의 결과에 영향을 줄 수 없다.
• 실재론(realism): 측정 이전에도 물리량은 확정된 값을 가진다.

이 두 가정을 합쳐 **국소 실재론(local realism)**이라 한다.

CHSH 부등식

가장 널리 쓰이는 형태는 Clauser–Horne–Shimony–Holt(CHSH) 부등식이다. 두 관측자 Alice와 Bob이 각각 측정 방향 $a,a^{\prime }$(Alice)와 $b,b^{\prime }$(Bob)를 선택할 때, 상관 함수를 다음과 같이 정의한다.

$$E(a,b)=⟨A(a)\cdot B(b)⟩$$

여기서 $A(a),B(b)\in \{+1,-1\}$는 각 측정 결과다. CHSH 매개변수는

$$S=E(a,b)-E(a,b^{\prime })+E(a^{\prime },b)+E(a^{\prime },b^{\prime })$$

이며, 국소 실재론 하에서는 반드시

$$|S|\le 2$$

가 성립한다. 반면 양자역학은 최대

$$|S|\le 2\sqrt{2}\approx 2.828$$

까지 허용하며, 이를 Tsirelson 한계라 한다. 고전 한계와 양자 한계 사이의 이 간극이 실험적으로 검증 가능한 예측 차이를 만든다.

최적 측정 각도

싱글릿 상태 $|{\Psi }^{-}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|01⟩-|10⟩)$에서의 상관 함수는

$$E(a,b)=-\cos ({\theta }_{ab})$$

형태를 취한다. $a=0°,a^{\prime }=90°,b=45°,b^{\prime }=135°$로 설정하면 $|S|=2\sqrt{2}$가 달성된다. 고전적인 어떤 확률 모델도 이 패턴을 재현할 수 없다.

---

예시·응용

실험적 검증

실험은 주로 편광 얽힘 광자쌍을 사용한다. 얽힌 광자 두 개를 서로 반대 방향으로 보내고, Alice와 Bob이 각각 편광판 각도를 독립적으로 선택해 검출 결과를 기록한 뒤 상관관계를 계산한다.

대표적인 실험 흐름:

1. Aspect 실험(1982): 얽힌 광자쌍을 이용해 최초로 통계적으로 유의한 CHSH 위반을 관측.
2. 루프홀 없는 실험(2015년 전후): 검출 효율 루프홀과 국소성 루프홀을 동시에 닫은 실험들이 수행되어, 국소 실재론이 실험적으로 배제됨.

import numpy as np

def chsh_quantum(a, a_prime, b, b_prime):
    """싱글릿 상태에서 CHSH 매개변수 계산 (각도 단위: 도)"""
    E = lambda theta: -np.cos(np.radians(theta))
    S = (E(a - b) - E(a - b_prime)
         + E(a_prime - b) + E(a_prime - b_prime))
    return S

# 최적 각도: a=0, a'=90, b=45, b'=135
S = chsh_quantum(a=0, a_prime=90, b=45, b_prime=135)
print(f"CHSH S값:  {S:.4f}")   # ≈ 2.8284 (= 2√2)
print(f"고전 한계: 2.0000")
print(f"위반 여부: {'예' if abs(S) > 2 else '아니오'}")

양자 정보에서의 응용

Bell 부등식 위반은 철학적 논쟁을 넘어 실용적 의미를 갖는다.

• 장치 무관 양자 키 분배(DI-QKD): Bell 위반을 보안 증명의 근거로 삼아, 장치 자체를 신뢰하지 않아도 안전성을 보장한다.
• 양자 난수 생성: 비국소 상관관계로부터 검증 가능한 진정한 무작위성을 추출한다.
• 얽힘 증인(entanglement witness): Bell 위반은 얽힘 존재의 직접적 실험 증거로 활용된다.

---

정리

Bell 부등식은 "양자역학이 국소 숨은 변수로 대체될 수 있는가"라는 물음에 실험적 답을 제공한다. CHSH 부등식의 고전 한계 $|S|\le 2$와 양자 한계 $2\sqrt{2}$ 사이의 간극은 자연의 비국소성을 드러내며, 반복된 실험이 이를 일관되게 확인했다. 이 결과는 양자역학이 불완전한 통계적 기술이 아님을 의미하며, 동시에 양자 정보 기술의 근간을 이룬다.