Bell 부등식과 비국소성: 양자 얽힘의 실험적 검증

개념 소개

1935년 Einstein, Podolsky, Rosen(EPR)은 양자역학이 "불완전"하다고 주장했다. 두 입자가 멀리 떨어져 있어도 한쪽을 측정하면 다른 쪽의 상태가 즉시 결정되는 것처럼 보이는데, 이는 국소성(locality) 원리—멀리 떨어진 사건이 서로 즉각적으로 영향을 줄 수 없다는 원리—에 어긋난다는 것이다. EPR의 해법은 입자가 처음부터 측정 결과를 결정하는 **숨은 변수(hidden variable)**를 갖는다는 것이었다.

1964년 John Bell은 이 논쟁을 실험으로 판가름할 수 있는 부등식을 유도했다. 국소 숨은 변수 이론이 옳다면 측정 결과 간 상관관계는 특정 한계를 넘을 수 없다. 양자역학은 그 한계를 넘는다.

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핵심 원리

Bell 부등식의 직관적 유도

두 관측자 Alice와 Bob이 얽힌 입자 쌍을 각각 받아 측정 방향을 독립적으로 선택한다. 측정 결과는 항상 $+1$ 또는 $-1$이다.

국소 숨은 변수 모형에서 각 입자는 숨은 변수 $\lambda$에 의해 측정 결과가 미리 정해진다. 결과 함수를 $A(\mathbf{a},\lambda )$, $B(\mathbf{b},\lambda )$로 표기하면 상관함수는

$$E(\mathbf{a},\mathbf{b})=\int A(\mathbf{a},\lambda )B(\mathbf{b},\lambda )\rho (\lambda )d\lambda$$

이 모형 아래서 Bell은 세 측정 방향 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$에 대해

$$|E(\mathbf{a},\mathbf{b})-E(\mathbf{a},\mathbf{c})|\le 1+E(\mathbf{b},\mathbf{c})$$

가 성립함을 증명했다. 이것이 Bell 부등식의 원형이다.

CHSH 부등식

실험에서 더 많이 쓰이는 형태는 Clauser–Horne–Shimony–Holt(CHSH) 부등식이다. Alice가 $\mathbf{a},{\mathbf{a}}^{\prime }$, Bob이 $\mathbf{b},{\mathbf{b}}^{\prime }$ 중 하나를 선택할 때

$$S=E(\mathbf{a},\mathbf{b})-E(\mathbf{a},{\mathbf{b}}^{\prime })+E({\mathbf{a}}^{\prime },\mathbf{b})+E({\mathbf{a}}^{\prime },{\mathbf{b}}^{\prime })$$

로 정의하면, 국소 숨은 변수 이론에서는 반드시

$$|S|\le 2$$

이다. 반면 양자역학에서 최대 싱글릿 상태

$$|{\Psi }^{-}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|01⟩-|10⟩)$$

에 최적 측정 방향을 적용하면

$$|S_{\mathrm{QM}}{|}_{\max }=2\sqrt{2}\approx 2.828$$

이 된다. 이를 Tsirelson 한계라 한다. 고전 한계(2)와 양자 한계($2\sqrt{2}$) 사이의 차이가 실험의 표적이다.

최적 측정 각도

싱글릿 상태에서 상관함수는 $E(\theta )=-\cos \theta$이다. CHSH 값을 최대화하려면

$$\mathbf{a}=0°,{\mathbf{a}}^{\prime }=90°,\mathbf{b}=45°,{\mathbf{b}}^{\prime }=135°$$

로 설정하면 된다.

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예시·응용

주요 실험 결과

Aspect 실험 (1982): Alain Aspect 팀은 칼슘 원자 캐스케이드로 생성한 광자 쌍을 이용해 CHSH 부등식을 실험했다. 측정 방향을 비행 중에 바꾸는 구성으로 $S=2.697\pm 0.015$를 얻었으며, 이는 고전 한계 2를 크게 초과했다.

루프홀 없는 실험 (2015): Delft 대학 팀(Hensen et al.)은 탐지 루프홀과 국소성 루프홀을 동시에 닫은 첫 실험을 수행했다. 다이아몬드 NV 센터 전자 스핀을 얽힌 뒤 1.3 km 떨어진 위치에서 측정해 Bell 부등식 위반을 확인했다.

간단한 시뮬레이션 (개념 예시)

import numpy as np

def quantum_correlation(theta):
    """싱글릿 상태에서 두 광자 측정 각도 차에 따른 상관함수"""
    return -np.cos(np.radians(theta))

angles = [(0, 45), (0, 135), (90, 45), (90, 135)]
labels = ["E(a,b)", "E(a,b')", "E(a',b)", "E(a',b')"]
signs  = [1, -1, 1, 1]  # CHSH 부호

S = 0
for (a, b), sign, label in zip(angles, signs, labels):
    e = quantum_correlation(b - a)
    S += sign * e
    print(f"{label} = {e:.4f}")

print(f"\nCHSH 값 S = {S:.4f}")
print(f"고전 한계: |S| ≤ 2, 양자 한계: {2*np.sqrt(2):.4f}")

실행 결과는 $S\approx 2.828$로 고전 한계를 초과함을 보여 준다.

비국소성의 함의

Bell 위반은 두 가지 결론 중 하나를 강제한다.

1. 비국소성: 멀리 떨어진 입자 간에 고전적 신호 없이도 상관관계가 존재한다.
2. 실재론 포기: 측정 전에 결과가 미리 정해져 있다는 가정을 버린다.

단, Bell 위반이 즉각적 정보 전달을 허용하지는 않는다. 각 측정 결과는 무작위이며, 상관관계는 사후에 고전 채널을 통해 비교해야만 확인된다.

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정리

Bell 부등식은 국소 숨은 변수 이론과 양자역학을 실험적으로 구분하는 기준선이다. 양자역학이 예측하는 상관관계의 강도($2\sqrt{2}$)는 고전 이론의 한계(2)를 넘으며, 다수의 정밀 실험이 이를 확인했다. 이 결과는 자연이 국소 실재론을 따르지 않음을 강하게 시사하며, 양자 암호·양자 통신의 보안 토대로도 활용된다.