양자 상태 단층 촬영: 밀도 행렬의 완전한 재구성

개념 소개

양자역학에서 계의 상태는 순수 상태(pure state)라면 상태 벡터 $|\psi ⟩$으로, 혼합 상태(mixed state)라면 밀도 행렬(density matrix) $\rho$로 기술된다. 실험실에서 제조한 양자 상태가 정확히 의도한 상태인지 확인하려면, $\rho$의 모든 성분을 실험적으로 결정해야 한다.

그러나 단 한 번의 측정은 하나의 고유값만 반환하고 상태를 붕괴시킨다. QST는 이 문제를 앙상블 전략으로 우회한다: 동일한 방법으로 준비된 상태를 $N$번 복사해 각각 다른 측정 기저에 투영하고, 얻어진 빈도수로부터 $\rho$를 역산한다.

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핵심 원리

밀도 행렬과 자유도

$n$-큐비트 계의 밀도 행렬은 $2^n\times 2^n$ 에르미트(Hermitian) 행렬이며, $\mathrm{Tr}(\rho )=1$ 조건을 만족한다. 실수 자유도(real degrees of freedom)는

$$d=4^n-1$$

이다. 예컨대 단일 큐비트($n=1$)는 자유도 3, 즉 블로흐 구의 $(r_x,r_y,r_z)$ 세 성분에 대응한다.

측정 연산자와 기대값

관측량 $O_k$에 대한 기대값은

$$⟨O_k⟩=\mathrm{Tr}(O_k\rho )$$

이며, 실험에서는 유한 샷(shot)으로 추정한 ${\hat{f}}_k\approx ⟨O_k⟩$를 얻는다. QST는 충분히 많은 독립적인 $\{O_k\}$를 선택해 이 선형 연립방정식을 $\rho$에 대해 푸는 과정이다.

정보 완비 측정 (IC-POVM)

측정 집합 $\{O_k\}$가 $\rho$를 유일하게 결정하려면 정보 완비(informationally complete) 조건, 즉 $\{O_k\}$가 에르미트 행렬 공간의 기저를 생성해야 한다. 단일 큐비트의 경우 파울리 연산자

$$\{I,X,Y,Z\}$$

측정으로 $\rho$를 완전히 표현할 수 있다:

$$\rho =\frac{1}{2}(I+r_{x}X+r_{y}Y+r_{z}Z),r_k=\mathrm{Tr}(P_k\rho )$$

선형 역산과 최대 우도 추정

가장 단순한 재구성은 **선형 역산(linear inversion)**이다. $\vec{f}$를 측정 빈도 벡터, $\mathbf{A}$를 측정 연산자를 나열한 행렬이라 하면

$${\hat{\rho }}_{\mathrm{LI}}={\mathbf{A}}^{+}\vec{f}$$

여기서 ${\mathbf{A}}^{+}$는 의사역행렬(Moore–Penrose pseudoinverse)이다. 그러나 선형 역산은 양반정치성(positive semidefiniteness)을 보장하지 않아 물리적으로 타당하지 않은 $\rho$를 산출할 수 있다.

이를 해결하는 표준 방법이 **최대 우도 추정(Maximum Likelihood Estimation, MLE)**이다. 측정 결과 $\{n_k\}$가 다항분포를 따른다고 가정하면, 로그 우도

$$\ell (\rho )=\sum _k{n}_k\ln \mathrm{Tr}(O_k\rho )$$

를 $\rho \ge 0$, $\mathrm{Tr}(\rho )=1$ 제약 아래 최대화한다. 이 볼록 최적화 문제는 반정치 계획법(SDP)으로 정확하게 풀 수 있다.

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예시·응용

단일 큐비트 QST (Python 예시)

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

# 파울리 행렬
I  = np.eye(2)
sx = np.array([[0,1],[1,0]])
sy = np.array([[0,-1j],[1j,0]])
sz = np.array([[1,0],[0,-1]])

def bloch_to_density(r):
    rx, ry, rz = r
    return 0.5 * (I + rx*sx + ry*sy + rz*sz)

def simulate_measurements(rho, shots=1000):
    """각 파울리 기저에서 +1 고유값 빈도 추정"""
    freqs = {}
    for name, P in [('X', sx), ('Y', sy), ('Z', sz)]:
        evals, evecs = np.linalg.eigh(P)
        probs = np.array([np.real(evecs[:,i].conj() @ rho @ evecs[:,i])
                          for i in range(2)])
        counts = np.random.multinomial(shots, np.clip(probs, 0, 1))
        freqs[name] = (counts[1] - counts[0]) / shots  # ⟨P⟩ 추정값
    return freqs

# 목표 상태: |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2
psi = np.array([1, 1]) / np.sqrt(2)
rho_true = np.outer(psi, psi.conj())

freqs = simulate_measurements(rho_true, shots=2000)

# 선형 역산으로 블로흐 벡터 복원
r_est = np.array([freqs['X'], freqs['Y'], freqs['Z']])
rho_est = bloch_to_density(r_est)

print("추정 밀도 행렬:\n", np.round(rho_est, 3))
print("충실도:", np.real(np.trace(
        np.linalg.matrix_power(
            np.linalg.cholesky(rho_true + 1e-9*I).T.conj()
            @ rho_est
            @ np.linalg.cholesky(rho_true + 1e-9*I), 2))))

충실도와 스케일링 문제

재구성된 $\hat{\rho }$와 이상적인 ${\rho }_{\text{target}}$ 사이의 **충실도(fidelity)**는

$$F(\rho ,\hat{\rho })={\left(\mathrm{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho }\hat{\rho }\sqrt{\rho }}\right)}^2$$

로 정의된다. QST의 가장 큰 실용적 한계는 측정 횟수의 지수 증가이다. $n$-큐비트 계에서 필요한 측정 기저 수는 $\mathcal{O}(4^n)$에 달해, 10큐비트만 되어도 수백만 회의 실험이 필요하다. 이를 완화하기 위해 **압축 센싱 QST(compressed sensing QST)**는 상태가 저계수(low-rank)라는 사전 정보를 이용해 $\mathcal{O}(r\cdot 4^n/n)$ 수준으로 샘플 복잡도를 줄인다.

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정리

QST는 밀도 행렬의 모든 자유도를 실험적으로 결정하는 완전 진단법이다. 선형 역산은 구현이 단순하지만 물리적 타당성을 보장하지 않으므로, 실제 응용에서는 MLE 또는 SDP 기반 최적화가 표준이다. 큐비트 수 증가에 따른 지수적 자원 소요는 QST의 근본적 한계이며, 이를 극복하기 위한 압축 센싱·베이즈 QST·섀도 토모그래피(shadow tomography) 등의 연구가 활발히 진행되고 있다.