양자 상태 단층 촬영: 밀도 행렬의 완전한 재구성

개념 소개

고전적 단층 촬영(CT)은 여러 각도에서 X선을 투사해 내부 구조를 재구성한다. 양자 상태 단층 촬영(Quantum State Tomography, QST)도 동일한 논리를 따른다. 단, 재구성 대상은 공간적 밀도가 아니라 밀도 행렬(density matrix) $\rho$이다.

단일 복사본에서 $\rho$를 완전히 알아낼 수 없다는 점이 고전과의 근본적 차이다. 측정 자체가 상태를 붕괴시키므로, 동일한 방식으로 준비된 앙상블(ensemble)을 반복 측정해 확률 분포를 추정한 뒤, 이로부터 $\rho$를 역산한다.

---

핵심 원리

밀도 행렬과 정보량

$n$-큐비트 계의 밀도 행렬은 $2^n\times 2^n$ 복소 에르미트(Hermitian) 행렬로, 다음 조건을 만족한다.

$$\rho ={\rho }^{†},\text{tr}(\rho )=1,\rho \ge 0$$

실수 자유도는 $4^n-1$개다. 이를 모두 결정하려면 적어도 $4^n-1$개의 독립적인 측정 기댓값이 필요하다.

Pauli 기저 분해

단일 큐비트의 경우, 임의의 밀도 행렬은 Pauli 행렬 $\{I,X,Y,Z\}$로 전개된다.

$$\rho =\frac{1}{2}(I+r_{x}X+r_{y}Y+r_{z}Z)$$

여기서 Bloch 벡터 $\mathbf{r}=(r_x,r_y,r_z)$는 각 축 방향의 측정 기댓값이다.

$$r_k=\text{tr}({\sigma }_k\rho )=⟨{\sigma }_k⟩$$

$n$-큐비트로 확장하면, $n$-fold Pauli 텐서곱 $\{I,X,Y,Z{\}}^{\otimes n}$ 전체($4^n$개)를 기저로 삼는다.

$$\rho =\frac{1}{2^n}\sum _{\mathbf{k}\in \{0,1,2,3{\}}^n}{c}_{\mathbf{k}}{\sigma }_{k_1}\otimes \cdots \otimes {\sigma }_{k_n}$$

선형 역산과 최대우도 추정

측정 기댓값 벡터 $\mathbf{b}$와 측정 연산자 행렬 $A$가 주어질 때, 선형 역산(linear inversion)은

$$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$$

를 최소제곱법으로 푼다. 그러나 이 방법은 유한 샘플 잡음으로 인해 양정치(positive semidefinite) 조건을 위반하는 비물리적 $\rho$를 산출할 수 있다.

이를 해결하기 위해 **최대우도 추정(Maximum Likelihood Estimation, MLE)**을 사용한다.

$${\hat{\rho }}_{\text{MLE}}=\underset{\rho \ge 0,\text{tr}(\rho )=1}{\mathrm{argmax}}\sum _j{n}_j\ln p_j(\rho )$$

$p_j(\rho )=\text{tr}(E_j\rho )$는 POVM 원소 $E_j$에 대한 Born 규칙 확률이며, $n_j$는 해당 결과의 관측 횟수다. Cholesky 분해 $\rho =T^{†}T/\text{tr}(T^{†}T)$를 이용하면 양정치 제약을 자동으로 만족시킨 채 최적화할 수 있다.

측정 복잡도와 확장성

큐비트 수 $n$	자유도 $4^n-1$	필요 측정 설정 수
1	3	3
2	15	9
4	255	81
10	~$10^6$	~$3^{10}\approx 59,049$

이 지수적 증가를 완화하기 위한 방법으로 **압축 센싱(compressed sensing QST)**과 행렬곱 상태(MPS) 기반 QST가 연구되고 있다.

---

예시·응용

Python 예시: 단일 큐비트 MLE 토모그래피

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

# Pauli 행렬
I  = np.eye(2)
sx = np.array([[0,1],[1,0]])
sy = np.array([[0,-1j],[1j,0]])
sz = np.array([[1,0],[0,-1]])

def bloch_to_rho(r):
    """Bloch 벡터 → 밀도 행렬"""
    return 0.5 * (I + r[0]*sx + r[1]*sy + r[2]*sz)

def born_prob(rho, basis_vec):
    """|basis_vec><basis_vec| 측정 확률"""
    proj = np.outer(basis_vec, basis_vec.conj())
    return np.real(np.trace(proj @ rho))

# 시뮬레이션: |+> 상태 준비 후 측정 데이터 생성
rho_true = bloch_to_rho([1, 0, 0])
shots = 1000
rng = np.random.default_rng(42)

# X, Y, Z 기저 측정 (각 기저에서 |0>, |1> 투영)
bases = {
    'X': [np.array([1,1])/np.sqrt(2), np.array([1,-1])/np.sqrt(2)],
    'Y': [np.array([1,1j])/np.sqrt(2), np.array([1,-1j])/np.sqrt(2)],
    'Z': [np.array([1,0]),             np.array([0,1])],
}
counts = {}
for key, (v0, v1) in bases.items():
    p0 = born_prob(rho_true, v0)
    counts[key] = rng.multinomial(shots, [p0, 1-p0])

# MLE: Bloch 벡터 최적화 (|r|<=1 제약을 페널티로 처리)
def neg_log_likelihood(r):
    if np.dot(r, r) > 1:
        return 1e10
    rho = bloch_to_rho(r)
    ll = 0
    for key, (v0, v1) in bases.items():
        p0 = np.clip(born_prob(rho, v0), 1e-9, 1)
        p1 = np.clip(1 - p0, 1e-9, 1)
        ll += counts[key][0]*np.log(p0) + counts[key][1]*np.log(p1)
    return -ll

res = minimize(neg_log_likelihood, x0=[0,0,0], method='Nelder-Mead')
r_est = res.x
rho_est = bloch_to_rho(r_est)

print(f"추정 Bloch 벡터: {r_est.round(3)}")
print(f"추정 밀도 행렬:\n{rho_est.round(3)}")
# 충실도(fidelity)
fidelity = np.real(np.trace(rho_true @ rho_est))
print(f"충실도: {fidelity:.4f}")

실제 양자 컴퓨터 적용

IBM Quantum 및 Google Quantum AI 플랫폼에서는 QST를 내장 라이브러리로 제공한다. Qiskit의 StateTomography 실험 클래스는 Pauli 기저 회로를 자동 생성하고 MLE를 수행한다. 다만 5큐비트 이상에서는 실행 시간이 급증하므로, 실험적으로는 2~4큐비트 서브시스템 토모그래피가 일반적이다.

**충실도(Fidelity)**는 재구성 품질의 표준 지표다.

$$F(\rho ,\sigma )={\left(\text{tr}\sqrt{\sqrt{\rho }\sigma \sqrt{\rho }}\right)}^2$$

순수 상태 $|\psi ⟩$에 대해서는 $F=⟨\psi |\rho |\psi ⟩$로 단순화된다.

---

정리

QST는 양자 장치 특성화(characterization)의 가장 직접적인 방법이지만, 지수적 자원 요구라는 근본적 한계를 가진다. MLE는 물리적 유효성을 보장하는 표준 재구성 기법이며, 압축 센싱이나 신경망 기반 방법론이 이 한계를 완화하려는 활발한 연구 방향이다. 재구성된 $\rho$로부터 얽힘 지표, 폰 노이만 엔트로피, 충실도 등 다양한 양자 정보 물리량을 직접 계산할 수 있다.