Bell 부등식과 비국소성: 양자 얽힘의 실험적 검증

개념 소개

1935년 아인슈타인, 포돌스키, 로젠(EPR)은 양자역학의 완전성에 의문을 제기했다. 서로 멀리 떨어진 두 입자가 얽힘 상태에 있을 때, 한쪽을 측정하는 순간 반대쪽 상태가 즉각 결정된다는 점이 인과율과 충돌한다는 것이다. EPR은 이를 해결하기 위해 아직 발견되지 않은 **숨은 변수(hidden variable)**가 존재하여 결과를 미리 결정짓는다고 주장했다.

1964년 존 스튜어트 벨(John S. Bell)은 국소 숨은 변수 이론이 참이라면 측정 상관 계수가 특정 한계를 넘을 수 없음을 수학적으로 보였다. 이 한계가 바로 Bell 부등식이다.

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핵심 원리

국소 실재론은 두 가지 가정에 기반한다.

• 국소성(Locality): 한 곳의 측정이 공간적으로 분리된 다른 곳에 즉각적인 물리적 영향을 줄 수 없다.
• 실재론(Realism): 측정 이전에도 물리량은 확정된 값을 가진다.

CHSH 부등식은 Bell 부등식의 실험 가능한 형태다. Alice와 Bob이 각각 두 측정 기저 $(a,a^{\prime })$, $(b,b^{\prime })$를 독립적으로 선택할 때, 상관 계수 $E(x,y)$는 두 결과의 곱의 기댓값으로 정의된다. 국소 숨은 변수 이론에서는 반드시

$$S=|E(a,b)-E(a,b^{\prime })+E(a^{\prime },b)+E(a^{\prime },b^{\prime })|\le 2$$

이 성립한다. 반면 양자역학에서 싱글릿 상태 $|{\Psi }^{-}⟩$의 상관 계수는

$$E(a,b)=-\cos (2(a-b))$$

로 주어지며, 최적 각도 $a=0°,a^{\prime }=90°,b=45°,b^{\prime }=135°$를 대입하면

$$S=2\sqrt{2}\approx 2.828$$

이 되어 고전 한계 2를 명확히 초과한다. 이 양자역학적 상한을 **치렐손 한계(Tsirelson bound)**라 한다.

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예시·응용

실험적 검증

1982년 알랭 아스페(Alain Aspect) 팀은 칼슘 원자에서 방출된 광자 쌍으로 CHSH 부등식 위반을 통계적으로 확인했다. 이후 탐지 효율 허점(detection loophole)과 국소성 허점(locality loophole)을 동시에 닫은 실험들이 진행되었고, 2015년 TU Delft 팀의 허점 없는(loophole-free) 실험이 국소 실재론의 불가능성을 강력히 입증했다. 이 공로로 클라우저·아스페·차일링거는 2022년 노벨 물리학상을 수상했다.

응용: 장치 독립 양자 키 분배(DI-QKD)

비국소 상관은 도청 여부를 물리 법칙 수준에서 검출할 수 있게 한다. 실험에서 $S>2$가 확인되는 한, 제3자가 통신에 개입하지 않았음이 보장된다. 정보가 빛보다 빠르게 전달되는 것은 아니므로 상대성 이론과 모순되지 않는다.

import numpy as np

def correlation(a, b):
    """싱글릿 상태에서의 양자 상관 계수"""
    return -np.cos(2 * (a - b))

# 최적 각도 (라디안)
a,  ap = 0,          np.pi / 2
b,  bp = np.pi / 4,  3 * np.pi / 4

S = abs(correlation(a, b) - correlation(a, bp)
      + correlation(ap, b) + correlation(ap, bp))

print(f"CHSH S       = {S:.4f}")          # 2.8284
print(f"고전 한계     = 2.0000")
print(f"치렐손 한계   = {2*np.sqrt(2):.4f}")  # 2.8284

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정리

Bell 부등식은 자연이 국소 숨은 변수 이론으로 설명 가능한지를 실험으로 판별하는 기준을 제공한다. 수십 년간의 실험들은 $S>2$ 위반을 일관되게 보여 주며, 이는 양자 얽힘이 고전적 상관과 근본적으로 다른 비국소 상관임을 뜻한다. 이 비국소성은 정보의 초광속 전달을 허용하지 않지만, 장치 독립 암호와 양자 네트워크에서 핵심 자원으로 활용된다.