CNOT 게이트와 얽힘 생성 회로

개념 소개

고전 컴퓨터의 XOR 게이트를 양자역학적으로 확장한 것이 CNOT(Controlled-NOT) 게이트다. 두 개의 큐비트—**제어 큐비트(control)**와 표적 큐비트(target)—를 입력으로 받아, 제어 큐비트가 $|1⟩$일 때만 표적 큐비트에 X(파울리-X, 비트 플립) 연산을 적용한다. 제어 큐비트가 $|0⟩$이면 표적 큐비트는 변하지 않는다.

진리표로 정리하면 다음과 같다.

입력 (제어, 표적)	출력
$	00\rangle$
$	01\rangle$
$	10\rangle$
$	11\rangle$

표적 큐비트만 보면 제어 큐비트와의 XOR 연산 결과와 일치한다. 단, 양자 게이트는 고전 논리와 달리 **가역적(unitary)**이어야 하므로, CNOT 역시 유니터리 행렬로 표현된다.

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핵심 원리

행렬 표현

계산 기저 $\{|00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩\}$ 순서로 CNOT의 $4\times 4$ 행렬은 다음과 같다.

$$\text{CNOT}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$$

이 행렬은 유니터리($U^{†}U=I$)이며 에르미트($U=U^{†}$)이기도 해서 자기 자신이 역연산이 된다. 즉, CNOT을 두 번 적용하면 항등 연산이 된다.

중첩 상태에 적용 — 얽힘 생성

CNOT이 강력한 이유는 중첩 상태에 적용할 때 나타난다. 제어 큐비트를 아다마르(H) 게이트로 먼저 중첩 상태로 만든 뒤 CNOT을 작용하면 두 큐비트가 분리 불가능한 얽힘 상태가 된다.

아다마르 게이트: $$ H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad H|0\rangle = \frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}} \equiv |+\rangle $$

벨 상태 $|{\Phi }^{+}⟩$ 생성 과정:

초기 상태 $|00⟩$에서 시작한다.

1. 제어 큐비트에 H 적용: $$|00⟩\stackrel{H\otimes I}{\to }\frac{|0⟩+|1⟩}{\sqrt{2}}|0⟩=\frac{|00⟩+|10⟩}{\sqrt{2}}$$

2. CNOT 적용: $$\frac{|00⟩+|10⟩}{\sqrt{2}}\stackrel{\text{CNOT}}{\to }\frac{|00⟩+|11⟩}{\sqrt{2}}=|{\Phi }^{+}⟩$$

결과 상태 $|{\Phi }^{+}⟩$은 $|00⟩$과 $|11⟩$의 중첩으로, 어느 큐비트 하나만의 상태로 분해할 수 없다. 이것이 최대 얽힘(maximally entangled) 상태의 정의다.

네 가지 벨 상태

초기 입력을 달리하면 나머지 세 벨 상태도 같은 H+CNOT 회로로 생성할 수 있다.

초기 상태	벨 상태	표기
$	00\rangle$	$\frac{
$	01\rangle$	$\frac{
$	10\rangle$	$\frac{
$	11\rangle$	$\frac{

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예시·응용

Qiskit으로 벨 상태 회로 구현

from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit_aer import AerSimulator
from qiskit.quantum_info import Statevector

# 2-큐비트 회로 생성
qc = QuantumCircuit(2)

# 1단계: 제어 큐비트(q0)에 아다마르 게이트
qc.h(0)

# 2단계: CNOT (제어=q0, 표적=q1)
qc.cx(0, 1)

# 상태벡터 출력
sv = Statevector.from_instruction(qc)
print(sv)
# 출력: [0.707+0j, 0, 0, 0.707+0j]
# → |00⟩과 |11⟩ 성분만 1/√2 크기로 존재

qc.measure_all()
sim = AerSimulator()
result = sim.run(qc, shots=1024).result()
print(result.get_counts())
# 예시 출력: {'00': 512, '11': 512} — 항상 같은 값으로 측정

측정 결과가 항상 00 또는 11로만 나오는 것은 두 큐비트가 완전히 상관되어 있다는 얽힘의 직접적인 증거다.

응용: 양자 텔레포테이션과 양자 오류 정정

벨 상태는 양자 텔레포테이션 프로토콜의 자원 채널로 쓰인다. 송신자와 수신자가 벨 쌍을 공유한 뒤, 고전 통신 2비트만으로 임의의 양자 상태를 전달할 수 있다. 또한 3-큐비트 비트 플립 코드 같은 양자 오류 정정 회로도 CNOT 두 개로 인코딩 단계를 구성한다.

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정리

CNOT 게이트는 제어 큐비트가 $|1⟩$일 때 표적 큐비트를 비트 플립하는 2-큐비트 유니터리 연산이다. 아다마르 게이트와 결합하면 분리 불가능한 최대 얽힘 상태인 벨 상태를 생성할 수 있으며, 이 H+CNOT 구조는 양자 텔레포테이션, 초고밀도 부호화, 양자 오류 정정 등 다양한 양자 정보 프로토콜의 기본 빌딩 블록으로 기능한다.